Igor Orozovič studoval muzikálové herectví na Konzervatoři Jaroslava Ježka a poté činoherní herectví na DAMU v Praze, kterou absolvoval v roce 2010 titulní rolí Molièrova Tartuffa a rolí Dr. Dorna v Čechovově Rackovi. V posledním ročníku DAMU obdržel Cenu Jiřího Adamíry, kterou uděluje Nadace Život umělce. V letech 2016 a 2017 na DAMU i herectví vyučoval.
V roce 2009 prošel vítězně konkurzem na titulní roli Sofoklova Oidipa v činohře Národního divadla moravskoslezského v Ostravě a získal zde zároveň stálé angažmá. V průběhu čtyř sezon ztvárnil řadu rolí, například Mozarta v Shafferově Amadeovi, za kterou získal nominaci na Cenu Alfréda Radoka v kategorii Talent a Cenu divadelního festivalu OST-RA-VAR.
Od roku 2013 je členem Činohry Národního divadla v Praze. Vytvořil zde již mnoho rozmanitých rolí – například: Švandu ve Strakonickém dudákovi J. K. Tyla, Pana Cvrčka v Čapkově Ze života hmyzu, Jiřího Traxlera v revue O. Havelky V rytmu swingu buší srdce mé (2016 Nominace na Cenu Thálie v kategorii Muzikál) a mnoho dalších.
V roce 2009 založil s Milanem Šotkem a Jiřím Suchým z Tábora Cabaret Calembour, který rozvíjí poetiku divadel malých forem a literárních kabaretů. Ke všem představením píše hudbu a podílí se na textech. Cabaret Calembour našel svoji domovskou scénu v Divadle pod Palmovkou a se hrou Plejtvák, která získala Cenu Alfréda Radoka v kategorii Nejlepší původní česká hra roku 2013, pravidelně hostuje na scéně Divadla Ypsilon. V roce 2018 vydalo nakladatelství Paseka sebrané spisy Cabaretu Calembour Všechno nejlepší, mapující deset let jeho činnosti. Kniha vedle textů obsahuje i Orozovičovy autorské ilustrace.
Účinkoval také v řadě filmů a televizních seriálů (Bella Mia, Nepravděpodobná romance, Zakázané uvolnění, Laputa, Fotograf, Rapl, Polda, Případ dvou sester, Živé terče, Past). S jeho charakteristickým hlasem se mohou posluchači setkat v nahrávkách: Jiří Traxler – Život v rytmu swingu (2019, Supraphon); Radůza – Uhlíř, princ a drak (2019, Supraphon); Černá Petra (2019, Český rozhlas); Balada pro banditu (2017, Radioservis); Ray Bradbury – Strom duchů (2016, Plus). S jeho hudbou určenou dětem vyšlo album Prasátko Pigy a kouzelná pohlednice plná písniček (2018, Supraphon – nominace na Audioknihu roku).
Igor Orozovič hovoří anglicky, francouzsky a srbsky. Hraje na klavír, zpívá, věnuje se výtvarné práci. Autorsky se podílí na hudební části speciálních večerů Národního divadla Nová krev. Také je občasným hostem pořadů Barování Sandry Novákové a Filipa Rajmonta v Malostranské besedě v Praze.
