Absolvoval AMU v Praze (prof. Miloš Sádlo) a na Hochschule für Musik und darstellende Kunst ve Vídni u prof. Angelicy May. V průběhu studií se zúčastnil řady mistrovských kurzů (Erkki Rautio, Heinrich Schiff, Martin Hornstein aj.) a interpretačních soutěží (Beethovenův Hradec, Janáčkova soutěž v Brně aj.).
V letech 1988–1991 působil jako člen skupiny i jako koncertní mistr violoncell v mezinárodním Gustav Mahler Jugendorchester a jako sólo violoncellista v Kammerorchester Berlin (2004–2005) Od roku 1994 je koncertním mistrem violoncell orchestru PKF–Prague Philharmonia. Lukáš Pospíšil působí rovněž jako komorní hráč. Roku 2014 se stal členem smyčcového kvarteta Zeiher Quartett. Pravidelně spolupracuje s vynikajícím houslistou Jakubem Fišerem, primáriem Benewitzova kvarteta a skvělým pianistou a dirigentem Markem Šedivým. Jako sólový hráč koncertuje Lukáš Pospíšil u nás i v zahraničí (Dánsko, Rakousko, Švýcarsko, Německo, Jordánsko, Lucemburk).